Monday, January 16, 2006

Моцартын суу билгийг шинжлэхvй

Алдарт найруулагч Милош Форманы “Амадей” бvтээлд нэгэн гайхамшигт хэсэг бий. Тэр нь єєрийгєє хєнєєхєєр завдсан Сальери дээр нэгэн залуу хуврага ирэх vед гарах бєгєєд энэ vед Сальери єєрийнхєє ямар агуу их хєгжмийн зохиолч байснаа батлахын тулд залууд бvтээлээсээ тоглож сонирхуулдаг. Харамсалтай нь хуврага тvvний ямар агуу ихийг нь анзаарах нь байтугай бvр бvтээлийг нь хvртэл гадарладаггvй. Гэтэл Сальери Моцартын бvтээлийг тоглоход єнєєх залуу хуврага мэдэхээр барахгvй бvр дагаад аялдаг. Тэгвэл vеэс vед хvн тєрєлхтний сэтгэл зvрхэнд хоногшиж чадсан тэрхvv бvтээлvvдээ Моцарт хэрхэн бичиж байв? Тvvнд нь ямар нэгэн далдын нууц байв уу? Энэ талаар Алма коллежийн математикч Жон Ф. Пуцийн хйисэн нэгэн сонирхолтой судалгааны талаар дор товч єгvvлье.

Нэгэн єдєр Пуц-ийн хєгжмийн зохиолч, тєгєлдєр хуурч хvv нь аавдаа Моцартын тєгєлдєр хуурын сонатанууд нь Exposition ба Development and Recapitulation гэсэн хоёр хэсэгт хуваагддаг (ер нь Моцартын vед бvх sonata-form movement-ууд ингэж хуваагддаг байсан) хэмээн сонирхуулж ярьжээ. Харин энэ vед Пуцын толгойд эдгээр тєгєлдєр хуурын сонатануудын хэсгvvдийн нь алтан харьцаанд захирагдаж буй эсэхийг шалгаж vзэх хvсэл тєрсєн байна. Хэрвээ vнэхээр Моцартын бvтээлvvд алтан харьцаанд захирагдаж байсан бол энэ нь єдгєє хvртэл бидний дахин давтагдашгvй, гайхамшигт хэмээн итгэж байсан зvйлс тэрхvv арга техникийг эзэмшсэн дурын хvний хувьд бvр илvvгээр хийж болно гэсэн баталгаа болох юм.

Алтан харьцаа

Алтан харьцаа гэдэг нь энгийн шулуун, дvрсээс авхуулаад хєгжим, уран зураг гээд ерєнхийдєє бvхий л зvйлсийг хамгийн оновчтойгоор хуваах нэгэн тєрлийн арга юм. Энэ талаар бvр МЭЄ 300-аад оны vед бичигдсэн Эвклидийн “Эхлэл” номонд хvртэл дурьдагдсан байдаг. Мєн алдарт одон оронч Кеплер (1571-1630) “Геометр-т хоёр эрдэнэ бий: нэг нь Пифагорын теорем; нєгєє нь алтан харьцаа юм. Эхнийхийг нь бид алтаар хэмжиж болох бол удаахийг нь бид vнэт эрдэнэ хэмээн нэрийдэж болно” хэмээсэн удаатай. Гэхдээ олон орны математикчдийн дунд энэ нь “алтан харьцаа” гэхээсээ илvvтэйгээр “vзэсгэлэнт харьцаа” гэгдэх нь бий. Учир нь энэхvv харьцаанд захирагдсан юм бvхэн хамгийн сайхан, тєгс тєгєлдєр болдог гэгддэг бєгєєд vvний тод жишээ нь Нью-Иорк дахь НVБ-ийн тєв байраас авхуулаад хайрт бvсгvйн тань царай гээд байгаль дэлхий дээр хаа сайгvй бий. Одоо харин vvнийг арай тодорхой байдлаар тайлбарлая. Тодорхой нэгж урт бvхий шулууныг аваад хоёр тэнцvv бус хэсэгт хуваа. Гэхдээ багыг нь X, харин томыг нь (1-X) гэсэн харьцаатайгаар хуваах бєгєєд жижиг ба том хэсгvvдийнх нь харьцаа нь том хэсэг ба нийт уртын харьцаатай тэнцvv байх ёстой. Єєрєєр хэлбэл X/(1-X)=(1-X)/1 гэсэн тэгшитгэл бий болно. Энэ тэгшитгэл нь цаашдаа квадрат тэгшитгэл байдлаар бодогдон vр дvнд нь манай алтан харьцаа буюу 0,618 гарах юм.

Математикч Моцарт

Эрт vеэс эхлэн математик хєгжим хоёр бие биедээ vргэлж гайхамшигтайгаар зохицсоор ирсэн. Пифагор бvр хєгжмийн 7 дахь нотыг математикийн аргаар гаргаж ирж байсан ч тvvх бий. Тэгвэл єдгєє олон эх сурвалжийн тэмдэглэж буйгаар Моцарт математикт шимтэгч нэгэн байжээ. Тvvний эгч Наннерлийн бичиж тэмдэглэснээр Моцарт арифметик судалж байхдаа єєрийн бvхий л анхаарлаа хийж буй зvйлдээ тєвлєрvvлэн єдєржин юу ч ярилгvй, зєвхєн тоо бодон єнгєрvvлдэг байсан байна. Тvvнчлэн хожим нь тvvний алдарт Fantasia and Fugue in C Major бvтээлийнх нь гар бичмэл дээр сугалаанд хожих магадлалыг тооцож гаргасан бодолт олджээ. Энэ бvгдээс vзэхэд Моцарт математикийн талаар асар єндєр мэдлэгтэй нэгэн байсан бєгєєд єєрийн бvтээлvvдээ тєгс тєгєлдєр болгохын тулд алтан харьцааг ашиглаж байсан байж болох магадлал тун єндєр юм.

Моцартын Нууц

Америкийн Математикийн Холбооноос сар бvр эрхлэн гаргадаг Mathematics Magazine-ий 1995 оны 10 сарын дугаарт Жон Пуц єєрийн судалгааны vр дvнгээ нийтлvvлжээ. Тэрээр єєрийн судалгаандаа Моцартын 29 тєгєлдєр хуурын сонатаг нь хамруулсан бєгєєд ингэхдээ Exposition буюу хєгжмийн theme танилцуулагддаг хэсэг ба Development and Recapitulation буюу theme developed and revisited болдог хэсгvvдийг харьцуулжээ. Vvний тулд Пуц соната тус бvрийн number of measures-ийг нь хэмжсэнийг нь доорхи хvснэгтээс харж болно.

Image hosted by Photobucket.com

Энд X-ээр Exposition-г, Y-ээр Development and Recapitulation-г тэмдэглэсэн байна. Цааш нь Пуц эхний удаагийн судалгаандаа дээр дурьдсан алтан харьцааны тэгшитгэлийн (X/(1-X)=(1-X)/1) баруун тал буюу хамгийн урт хэсэг болох Dev. & Recap. (1-X) болон нийт number of measures (X+Y) хоёрын харьцааг авч vзжээ. Ингэхдээ vр дvнгvvдээ хоёр хэмжээст координатын хавтгай дээр байрлуулсан байна.

Image hosted by Photobucket.com

Хариу нь тун гайхалтай шугаман гарч бараг Моцартыг бvтээлээ туурвихдаа алтан харьцааг ашиглаж байсан гэж хэлж болохоор болов.

Image hosted by Photobucket.com

Пуцын тодорхойлсноор хариу шугам хоёрын correalation coefficient нь 0.99 буюу бараг 1.00-тэй тэнцэж байв.
Гэхдээ хэдийгээр энэ ганц судалгаа нь Моцартыг алтан харьцаа хэрэглэж байсныг нь батлахад хангалттай мэт боловч Пуц хоёр дахь судалгаа буюу алтан харьцааны тэгшитгэлийн (X/(1-X)=(1-X)/1) зvvн тал болох богино хэсэг болох Exposition (X) ба урт хэсэг болох Dev. & Recap. (1-X) хоёрын харьцааг авч vзэхээр шийджээ. Онол ёсоор бол энэ судалгааны хариу нь эхнийхтайгаа адил гарах ёстой.

Image hosted by Photobucket.com

Гэтэл хариу хэдийгээр шугаман гарч зарим нэгэн нь бvр алтан харьцаатай тун ойрхон 0.618 гэж гарч байсан боловч дунд нь 0.534, 0.833 гэх мэт муу хариу ч бас байв.

Image hosted by Photobucket.com

Мєн тvvнчлэн correlation coefficient нь ємнєхтэйгээ харьцуулахад маш бага 0.938 гарсан байна.

Моцарт Алтан Харьцаа Хэрэглэсэн vv?

Пуцын судалгааны vр дvн хэдийгээр эхлээд Моцарт алтан харьцаа хэрэглэж байсан гэсэн vр дvнд хvргэсэн боловч хоёр дахь тохиолдолд vгvйсгэсэн юм. Гэхдээ энэ бол сэтгэл гонсойлгосон хариу огтхон ч биш. Учир нь тєгс тєгєлдєр зvйл хаа ч байдаггvй гэдэгчлэн магадгvй Моцарт толгой дотроо аль эсвэл бvр мэдрэмжээрээ алтан харьцааг ашиглахдаа ялимгvй алдаа хийсэн байсан байж бас болох. Єєрєєр хэлбэл Жон Пуцын хэлсэнчлэн “Эдгээр сонатанууд нь суу билигтний бvтээл байсан гэдгийг бид мартаж болохгvй”.

Reference:

John F. Putz, The golden section and the piano sonatas of Mozart, Mathematics Magazine 68 (1995) #4, 275-281

0 comments: